【感想】数学ガールの秘密ノート／複素数の広がり

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新しい世界
新しい数字を定義する
虚数、
その虚数から複素数の世界。
定義することで数学がはじまる
矛盾なく世界が新しく生まれる。
定義した数字を
グラフにしたり
式にしたり
いろんな世界を飛び回るように
遊びまわるように、
四次元の世界へ。

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　数学ガール秘密ノートで自分にとっての最後の1冊を読み終わりました。今回は「複素数の広がり」という副題となっています。複素数は高校の数学で習いましたが、「2乗すると-1になる」というそれまでなかった概念が導入されたということは理解していたと思うのですが、それで何が便利になるのか、どういったことに使われるのかについては教えてもらえなかったと記憶しています。

　数学ガールでは用途については特に説明されていませんでしたが、複素数を常に図形で表してみたり、実数との違いについて丁寧に説明したり、共役複素数という互いに虚数部分の絶対値が等しい複素数について図形で確かめながら説明がなされ、「嘘」の概念ではなく、実際に図形上確認のできる「実際の」数値的概念であることが理解できるようになっています。
a+biの共役複素数はa-bi
a-biの共役複素数はa+bi

また複素数を三角関数で表現できることも確認した上で、複素数の積は加法定理を介して偏角の和と単位円に対して絶対値をもって図形上表現できることも学びました。

その後、先生からのメッセージで「正五角形を複素数を介して図形上表現」し、テトラちゃんの希望から、その頂点を「実際の複素数」で表すといったことも行いました。

最後に複素数に対して3次元数、4次元数を表現することができるのかどうかを証明していきます。そこではまず3次元数は矛盾があることを証明しました。また4次元数はテトラちゃんの「ベクトルで表現する」というアイディアとその方針では一部の矛盾を内包していることを確認します。しかしそのアイディアを生かして積の交換法則を回避した複素共役を利用した数式の変換で表現できることを仲間と一緒に証明するのです。

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